Encontrando Período Fundamental de x(t) = 2cos(10t) + sen(4t)

Análise de Sinal: Soma de Duas Senoides

Dado o sinal de tempo contínuo:

x(t) = 2cos(10t) + sen(4t)

Passo 1: Identificar Frequências Angulares

• Termo 1: 2cos(10t) → ω₁ = 10 rad/s
• Termo 2: sen(4t) → ω₂ = 4 rad/s

Passo 2: Calcular Períodos Individuais

Período T = 2π / ω

• T₁ = 2π / 10 = π/5 segundos
• T₂ = 2π / 4 = π/2 segundos

Passo 3: Encontrar Mínimo Múltiplo Comum (MMC)

A soma é periódica se T₁/T₂ for racional. O período fundamental T₀ = MMC(T₁, T₂).

Expresse como múltiplos racionais de π:

• T₁ = (1/5)π
• T₂ = (1/2)π

MMC de frações: MMC(numeradores) / MDC(denominadores)

MMC(1, 1) / MDC(5, 2) = 1 / 1 = 1

Portanto: T₀ = 1 × π = π segundos

Verificação

Em t = π:

• cos(10π) = cos(0) = 1 → 2cos(10π) = 2
• sen(4π) = sen(0) = 0
• x(π) = 2 + 0 = 2 = x(0) ✓

Nenhum T positivo menor satisfaz ambos: T₁ = π/5 requer 5 ciclos; T₂ = π/2 requer 2 ciclos. MMC = π.

Fórmula Geral para Soma de Senoides

Para x(t) = Σ A_k cos(ω_kt + φ_k):

1. Calcule T_k = 2π/ω_k para cada termo
2. Se todas as razões ω_k/ω₁ forem racionais → periódico
3. T₀ = MMC(T₁, T₂, ..., T_n)
4. Se qualquer razão de frequência for irracional → aperiódico

Perspectiva do Domínio da Frequência

Transformada de Fourier: X(jω) = 2π[δ(ω-10) + δ(ω+10)] + jπ[δ(ω+4) - δ(ω-4)]

Componentes de frequência em ±10 rad/s e ±4 rad/s. Frequência fundamental ω₀ = MDC(10, 4) = 2 rad/s. T₀ = 2π/ω₀ = π s. ✓

Resposta: O período fundamental é π segundos (≈ 3,1416 s).

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