Sinais que Existem Apenas em uma Janela Finita
Um sinal limitado no tempo x(t) satisfaz: x(t) = 0 para |t| > T (ou t < t0 ou t > t1). Tem duração finita. É uma idealização matemática — sinais físicos sempre têm extensão infinita (ruído térmico, tempo de vida do universo) — mas é um modelo poderoso para pulsos, pacotes, transientes e análise com janela.
Propriedades Matemáticas
- Transformada de Fourier: Um sinal limitado no tempo não pode ser limitado em banda (teorema de Paley-Wiener). Seu espectro X(f) tem extensão infinita. Inversamente, um sinal limitado em banda (ex.: passa-baixa ideal) tem suporte temporal infinito.
- Energia: E = ∫|x(t)|² dt < ∞ (energia finita). Todos os sinais limitados no tempo são sinais de energia (não sinais de potência).
- Analiticidade: X(f) é uma função inteira (analítica em todo lugar) → não pode ser zero em um intervalo a menos que seja identicamente zero.
Exemplos Comuns
- Pulso Retangular: rect(t/τ) = 1 para |t| < τ/2, senão 0. Espectro: τ·sinc(πfτ).
- Pulso Gaussiano: exp(-t²/2σ²) — efetivamente limitado no tempo (decai rápido). Também gaussiano em frequência — produto tempo-banda mínimo.
- Cosseno Levantado / Raiz-Cosseno Levantado: Usado em com. digitais (ISI zero). Limitado no tempo a período de símbolo × rolloff.
- Funções de Janela: Hamming, Hann, Blackman, Kaiser — *aplicadas* a sinais infinitos para torná-los limitados no tempo para DFT.
- Fonemas / Palavras de Fala: Segmentos de ~50–200 ms.
- Pulsos de Radar / Sonar: Duração µs–ms.
- Pacotes de Rede: Preâmbulo + Payload + CRC (µs–ms).
Implicações no Processamento de Sinais
- DFT/FFT Assume Extensão Periódica: Janelar um sinal limitado no tempo cria vazamento espectral (convolução com sinc). Escolha da janela troca largura do lóbulo principal vs. nível de lóbulos laterais.
- Filtro Casado: Detector ótimo para sinal limitado no tempo conhecido em AWGN: h(t) = x(T-t). Maximiza SNR em t=T.
- Análise Tempo-Frequência: STFT, Wavelets, Wigner-Ville — analisam *quando* frequências ocorrem. Essencial para sinais limitados no tempo não-estacionários.
- Amostragem: Limitado no tempo → largura de banda infinita → aliasing inevitável. Filtro anti-aliasing deve preceder amostragem; aceite algum aliasing ou sobreamostre.
- Convolução: y(t) = x(t) * h(t). Se x(t) duração Tx, h(t) duração Th → y(t) duração Tx + Th.
Contraste: Sinais Ilimitados no Tempo
- Senóides (eternas).
- Sinais periódicos (série de Fourier).
- Processos aleatórios estacionários (ruído branco, processo de Wiener).
- Função degrau u(t) — duração infinita (mas causal).
Conclusão Prática
Sinais reais são *efetivamente* limitados no tempo (rajada, pacote, transiente). Modelamos como tal, aplicamos janelas para análise espectral, e projetamos sistemas (filtros, moduladores, detectores) respeitando a dualidade tempo-banda. A impossibilidade "limitado no tempo ↔ limitado em banda" é por que aceitamos bandas de transição, ripple de parada de banda, e vazamento espectral — engenharia é gerenciar o compromisso.
